Rolamento

A energia cinética de rotação mede a energia associada ao giro de um corpo em torno de um eixo e depende de como a massa se distribui em relação a esse eixo, o que é capturado pelo momento de inércia $I$; por isso, dois cilindros de mesma massa e raio, mas um maciço e outro oco, giram com energias diferentes sob o mesmo $\omega$, pois o oco concentra massa na periferia e tem $I$ maior. Essa distribuição também explica por que, numa descida de plano inclinado, o corpo com maior $I$ chega por último: parte da energia potencial vira rotação e sobra menos para a translação. O exemplo clássico é uma roda ou aro de massa $M$ e raio $R$ descendo uma rampa de altura $h$ sem escorregar: pela conservação da energia, $Mgh=\frac{1}{2}Mv_{CM}^{2}+\frac{1}{2}I\omega^{2}$, e como não há deslizamento, $v_{CM}=\omega R$.

Para o aro, $I=MR^{2}$, logo $Mgh=Mv_{CM}^{2}$ e $v_{CM}=\sqrt{gh}$; para um cilindro maciço, $I=\frac{1}{2}MR^{2}$, resultando em $v_{CM}=\sqrt{\frac{4gh}{3}}$, maior que a do aro.

No rolamento sem escorregamento, o corpo rígido gira e translada de forma acoplada: a cada volta completa, o centro de massa avança exatamente uma circunferência, o que traduz a condição cinematicamente necessária para que o contato com a superfície seja feito sem deslizar. Dessa restrição surgem duas consequências poderosas. A primeira é que a velocidade de qualquer ponto do corpo pode ser decomposta como a soma vetorial da translação do centro de massa com a rotação em torno dele; o ponto mais baixo, em contato com o solo, tem essas duas parcelas se cancelando e resulta em velocidade instantânea nula, funcionando como um centro instantâneo de rotação.

A segunda é energética: como não há deslizamento relativo na interface, a força de atrito (mesmo a estática) não realiza trabalho, e a energia mecânica se conserva, somando a parcela translacional $\frac{1}{2}Mv_{CM}^2$ com a rotacional $\frac{1}{2}I_{CM}\omega^2$.

A chave conceitual do rolamento sem deslizamento é que o ponto de contato do corpo com o plano está instantaneamente em repouso, de modo que o atrito presente é o estático, e uma força aplicada num ponto parado não realiza trabalho — portanto a energia mecânica se conserva e a distribuição de massa do corpo decide apenas como a energia potencial se reparte entre translação e rotação, sem que nada se perca pelo atrito. Note ainda que o atrito estático é indispensável: é ele que exerce torque em relação ao centro de massa e faz o corpo girar em vez de escorregar, o que explica por que um corpo perfeitamente liso desceria apenas transladando, mais rápido que qualquer corpo que rola, já que toda a energia viraria $\frac{1}{2}Mv^{2}$.

No rolamento, ao contrário, a rotação "consome" parte da energia disponível, e a fração consumida é justamente $\frac{I}{MR^{2}}$: para o aro (massa toda na periferia) vale 1, para o cilindro maciço $\frac{1}{2}$ e para a esfera maciça $\frac{2}{5}$, o que produz $v=\sqrt{2gh/(1+\frac{I}{MR^{2}})}$ e acelerações $a=\frac{g\,\mathrm{sen}\,\theta}{1+\frac{I}{MR^{2}}}$ diferentes para cada forma. Como exemplo concreto, soltando do repouso num plano de $30^{\circ}$, um aro, um cilindro e uma esfera de mesma massa e mesmo raio, a esfera chega primeiro, o cilindro em segundo e o aro por último, e a ordem é sempre essa porque massas e raios se cancelam — duplicar o raio aumenta $I$ e $M$ na mesma proporção, sem alterar a razão que governa a descida.

Para entender por que o atrito no rolamento se comporta de forma tão peculiar, é preciso voltar à cinemática da rotação: quando um corpo rola sem escorregar, a velocidade do centro de massa está amarrada à velocidade angular pela relação v = ωR, e o ponto de contato com o solo tem velocidade instantânea nula em relação ao piso. É exatamente por isso que a força de atrito que age ali é estática, e não cinética — não há deslizamento relativo entre as superfícies, logo não há o deslizamento que caracteriza o atrito cinético dissipativo.

Em resumo, domine a relação v = ωR, a condição de ponto de contato instantaneamente parado e o balanço energético completo — e leia o enunciado com atenção para distinguir rolamento puro de rolamento com escorregamento, pois é nessa leitura atenta do texto que o candidato identifica se há ou não dissipação de energia na situação proposta.