Eletromagnetismo II

Todo campo magnético nasce de carga em movimento, e a lei de Biot-Savart, $dB=\frac{\mu_0 I\,dl\,\text{sen}\theta}{4\pi r^2}$, mostra que cada trecho de corrente contribui com um campo perpendicular tanto ao fio quanto ao vetor posição. O que se faz nos três casos citados é integrar essa expressão, explorando simetrias: no fio infinito, a integração ao longo de todo o comprimento dá o fator $2\pi d$ no denominador; na espira, a soma vetorial das contribuições de cada arco aponta para o eixo e resulta em $\frac{\mu_0 I}{2R}$; no solenoide, a superposição de muitas espiras faz o campo interno se somar e o externo praticamente se cancelar. Uma consequência elegante é que o campo no eixo de uma espira, $B=\frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2+x^2)^{3/2}}$, reproduz o resultado do centro quando $x=0$.

Como exemplo concreto, pense num solenoide de 20 cm com 400 espiras percorrido por 5 A: $n=2000$ espiras/m, logo $B\approx 4\pi\times10^{-7}\cdot2000\cdot5\approx1,3\times10^{-2}$ T, algo dezenas de vezes maior que o campo terrestre (~$5\times10^{-5}$ T).

A origem dessa força está no campo magnético que cada corrente gera no espaço ao seu redor: pela lei de Ampère, um fio percorrido por corrente $I_1$ produz, à distância $d$, um campo $B_1=\mu_0 I_1/(2\pi d)$ cuja direção é dada pela regra da mão direita — envolvendo o fio com o polegar no sentido da corrente. Esse campo atravessa o segundo fio transversalmente, e cada portador de carga em movimento sofre a força de Lorentz $\vec{F}=q\,\vec{v}\times\vec{B}$, cujo resultado líquido para o fio inteiro leva à expressão $\frac{F}{L}=\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}$, com $\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \text{T·m/A}$. O ponto que confunde muitos alunos é justamente que correntes de mesmo sentido se atraem: ligue mentalmente dois fios próximos com corrente no mesmo sentido e perceba que o campo de um deles, no ponto onde está o outro, é perpendicular ao plano dos fios, e o produto vetorial aponta um puxando o outro — daí a atração.

Como exemplo concreto, tome dois condutores paralelos separados por $d=2\ \text{cm}=0{,}02\ \text{m}$, cada um com $I_1=I_2=10\ \text{A}$: então $\frac{F}{L}=\frac{4\pi\times10^{-7}\cdot10\cdot10}{2\pi\cdot0{,}02}=\frac{2\times10^{-5}}{0{,}02}=1\times10^{-3}\ \text{N/m}$, ou seja, $1\ \text{mN}$ por metro de fio, atração. Note o caráter recíproco garantido pela terceira lei de Newton: o fio 2 puxa o fio 1 com a mesma força por unidade de comprimento, e é por isso que a definição histórica do ampère se apoiou nesse arranjo — o ampère foi definido como a corrente constante que, em dois condutores paralelos e retilíneos de comprimento infinito, seção circular desprezível e separados de $1\ \text{m}$ no vácuo, produz entre eles uma força de $2\times10^{-7}\ \text{N}$ por metro.