$E=\mu_{líquido}\,V_{imerso}\,g$: o empuxo iguala o peso do líquido deslocado. Note que entram a densidade do líquido e o volume submerso, não os do corpo. Flutua o corpo cuja densidade média é menor que a do líquido; afunda o mais denso.
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O Teorema de Arquimedes nasce de uma ideia sutil: a pressão de um fluido cresce com a profundidade, de modo que a face inferior de um corpo imerso sofre empuxo maior que a face superior, gerando uma força resultante vertical para cima. Essa força é exatamente o peso do fluido que o corpo deslocou, e não depende da forma do objeto nem de sua massa — apenas do volume submerso e da densidade do fluido. Daí surge a condição de flutuação: um corpo flutua quando o peso do líquido deslocado iguala seu próprio peso, o que impõe uma fração submersa igual à razão entre a densidade do corpo e a do líquido.
Peso aparente
$P_{ap}=P-E$: o que a balança acusa dentro do fluido. Se $E=P$, o corpo fica em equilíbrio a qualquer profundidade. É o princípio do submarino e da bexiga natatória dos peixes, que variam o volume para alterar o empuxo.
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O peso aparente é a leitura que uma balança ou dinamômetro registra quando o corpo está imerso em um fluido e é, portanto, a resultante entre o peso real e o empuxo: $P_{ap}=P-E$, com $E=\rho_{fluido}\cdot V_{deslocado}\cdot g$.
Nas questões de vestibular, o tema costuma aparecer de três formas: (i) cálculo direto da leitura de um dinamômetro com o corpo submerso, exigindo atenção ao volume deslocado (cuidado com corpos ocos ou flutuantes, em que só parte do volume desloca fluido); (ii) determinação da densidade de um material desconhecido a partir da razão entre peso real e peso aparente, muito comum na Fuvest e na Unicamp; e (iii) situações conceituais envolvendo elevadores, balanças dentro de fluidos e o famoso paradoxo de um barco com pedras a bordo — em que jogar a pedra na água altera o nível do reservatório —, cobrado com frequência no ITA e no ENEM por exigir raciocínio sobre volume deslocado total antes e depois.
Imersão de um sólido em líquidos imiscíveis
O corpo estaciona na interface entre os líquidos de densidade menor e maior que a sua. O empuxo total é a soma das contribuições de cada líquido: $E=\sum\mu_i V_i g$, com $V_i$ o volume imerso em cada um. No equilíbrio, essa soma iguala o peso.
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Quando um sólido é colocado em um recipiente com dois líquidos imiscíveis de densidades diferentes, ele não afunda até o fundo nem flutua apenas na superfície: a depender de sua densidade média, ele se posiciona exatamente na interface, com uma parte submersa no líquido mais denso (geralmente o de baixo) e outra no menos denso (o de cima). A razão disso está na distribuição de pressão ao longo da vertical: a pressão cresce com a profundidade, e o empuxo resulta da diferença entre a força exercida na base e no topo do corpo. Como cada líquido contribui apenas na região em que envolve o sólido, o empuxo total é a soma das parcelas $E_i = \mu_i V_i g$.
Vazão ou fluxo
$Z=\frac{V}{\Delta t}=A\,v$, em $\mathrm{m^3/s}$: volume que atravessa uma seção por unidade de tempo. Converter litros em $\mathrm{m^3}$ ($1\ \mathrm{L}=10^{-3}\ \mathrm{m^3}$) é o passo esquecido nas questões de torneira e caixa-d'água.
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A vazão mede a rapidez com que um volume de fluido atravessa uma seção transversal, e sua expressão $Z = A\,v$ revela algo profundo: para um fluido incompressível, o produto entre área e velocidade deve permanecer constante ao longo de um tubo, o que é exatamente o conteúdo da equação da continuidade ($A_1v_1 = A_2v_2$). Disso decorre o efeito cotidiano de que, ao tapar parcialmente a saída de uma mangueira com o dedo, a água sai mais rápido — a área diminui, então a velocidade aumenta para manter a mesma vazão.
Vale distinguir vazão volumétrica (a que usamos aqui) de vazão mássica, $\dot{m} = \rho Z = \rho A v$, útil quando a densidade varia, como em escoamentos com troca de calor.
Equação da continuidade
Para fluido incompressível, a vazão se conserva: $A_1v_1=A_2v_2$. Estreitar a seção aumenta a velocidade — é o que se faz ao tapar parcialmente a mangueira. Combinada com Bernoulli, explica por que a pressão cai onde a velocidade cresce.
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A equação da continuidade nasce de um princípio mais fundamental ainda: a conservação da massa. Como o fluido é incompressível, tudo que entra num trecho do tubo tem de sair no mesmo instante — nada se acumula, nada some. Disso resulta que o produto área × velocidade é constante ao longo do escoamento, e não apenas entre dois pontos: vale para qualquer seção. A consequência prática é uma relação de proporcionalidade inversa entre área e velocidade, o que torna o fenômeno bastante intuitivo. Imagine um rio largo que estreita ao passar entre duas pedras: a água acelera exatamente na razão inversa das áreas. Se a largura cai à metade e a profundidade não muda, a velocidade dobra.
Esse mesmo raciocínio explica por que, ao colocar o dedo na ponta de uma mangueira de jardim, o jato sai mais rápido e alcança mais longe — ao reduzir a área de saída, você obriga o fluido a acelerar. É importante notar que a equação não depende da pressão nem da altura: ela é puramente cinemática e geométrica, o que a torna aplicável mesmo em situações complexas, como o fluxo sanguíneo em artérias que se ramificam. Nesse caso, cada ramo leva uma fração da vazão total, e a soma das vazões dos ramos iguala a vazão do tronco principal: A₁v₁ = A₂v₂ + A₃v₃ + ....