Momento angular e sua conservação

Momento angular (L)

Ponto material: $L=mvr\,\mathrm{sen}\,\theta$ (ou $L=\vec{r}\times\vec{p}$). Corpo rígido girando em torno de eixo fixo: $L=I\omega$, análogo rotacional de $Q=mv$.

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O momento angular mede a "quantidade de movimento de rotação" de um corpo e, como o torque é o agente que altera essa grandeza, sua conservação surge quando o torque resultante é nulo — exatamente o análogo rotacional da conservação do momento linear quando a força resultante se anula. A forma vetorial $L=\vec{r}\times\vec{p}$ revela que $L$ depende da escolha da origem e é perpendicular ao plano formado por $\vec{r}$ e $\vec{p}$; por isso, mesmo uma partícula em movimento retilíneo possui momento angular não nulo em relação a um ponto fora da trajetória, o que explica a famosa experiência de lançar uma bola tangencialmente e "girá-la" em torno de um poste.

Para um sistema de partículas ou corpo extenso, $L=\sum_i \vec{r}_i\times\vec{p}_i$ ou, no caso de rotação em torno de eixo fixo, $L=I\omega$; se o momento de inércia $I$ varia durante o movimento (como no patinador que recolhe os braços), a conservação $L_i=L_f$ impõe $I_i\omega_i=I_f\omega_f$, de modo que reduzir $I$ aumenta $\omega$ — é o efeito que permite ao patinador acelerar o giro sem empurrar o gelo.

Teorema do impulso angular

$\tau_{res}\,\Delta t=\Delta L$: análogo rotacional do teorema do impulso, relaciona o torque aplicado durante um intervalo à variação do momento angular.

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O teorema do impulso angular nasce da própria definição de torque resultante como taxa de variação temporal do momento angular, isto é, $\vec{\tau}_{res}=d\vec{L}/dt$. Integrando ambos os lados entre dois instantes $t_i$ e $t_f$, obtém-se $\int_{t_i}^{t_f}\vec{\tau}_{res}\,dt=\vec{L}_f-\vec{L}_i$, ou seja, o impulso angular $\vec{J}_\theta=\int\vec{\tau}_{res}\,dt$ é exatamente a área sob o gráfico torque versus tempo e mede a variação vetorial de $\vec{L}$.

Atenção

Note que o teorema é integral: só o torque resultante importa, e torques internos se cancelam aos pares pelo princípio da ação e reação, de modo que forças internas jamais alteram o momento angular total de um sistema. Isso conecta o impulso angular à conservação de momento angular como caso particular: quando $\vec{\tau}_{res}=0$ em um intervalo, $\vec{L}$ permanece constante nesse intervalo, mas a recíproca não vale — pode haver torque não nulo de impulso total nulo, como um torque que cresce e decresce simetricamente, resultando em $\Delta\vec{L}=0$ sem conservação instantânea. Considere uma patinadora que, girando a $2\pi\,\text{rad/s}$ com momento de inércia $I=4\,\text{kg·m}^2$, encolhe os braços em $0{,}5\,\text{s}$ sob torque muscular médio de $2\,\text{N·m}$; o impulso angular vale $1\,\text{N·m·s}$, alterando $L$ de $8\pi$ para $8\pi+1\,\text{kg·m}^2/\text{s}$, o que muda sua velocidade angular para $(8\pi+1)/I_f$.

Como cai na prova

Em provas como Fuvest, Unicamp e ITA, o tema aparece em questões que pedem a área do gráfico $\tau\times t$, o cálculo de $\Delta\omega$ a partir de um torque variável, ou a comparação entre impulso angular e impulso linear $\vec{F}\Delta t=m\Delta\vec{v}$, exigindo do candidato perceber a analogia formal entre translação e rotação e, sobretudo, distinguir conservação ($\vec{\tau}_{res}=0$ durante todo o intervalo) de impulso nulo (variação total zero com torque momentaneamente não nulo), erro clássico em alternativas que confundem "torque zero" com "impulso angular zero"; dominar esse teorema exige, portanto, enxergar $\vec{L}$ como grandeza que só muda por ação de torque externo resultante, integrado no tempo, e reconhecer que a conservação é a consequência extrema dessa relação quando nenhum torque externo age sobre o sistema.

Conservação do momento angular

Na ausência de torque externo resultante, $L$ se conserva: $I_1\omega_1=I_2\omega_2$. Explica por que a patinadora gira mais rápido ao recolher os braços (reduz $I$, aumenta $\omega$) e por que planetas em órbita elíptica aceleram no periélio (2ª Lei de Kepler é, na verdade, conservação de $L$).

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A conservação do momento angular decorre de uma simetria profunda da natureza: se o torque externo resultante sobre um sistema é nulo, seu vetor momento angular $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ permanece constante em módulo, direção e sentido, o que vale tanto para o movimento de uma partícula quanto para corpos rígidos e sistemas de muitas partículas. No caso de rotação em torno de um eixo fixo, escrevemos $L = I\omega$; se $I$ diminui, $\omega$ aumenta na mesma proporção, e vice-versa.