Espelhos esféricos

Quando dizemos que um espelho esférico só forma imagens nítidas sob as condições de Gauss, estamos na verdade impondo que cada ponto objeto seja conjugado a um único ponto imagem — e isso só acontece se todos os raios que partem do objeto e atingem o espelho chegarem ao mesmo ponto após refletir. Em um espelho esférico real, o foco não é rigorosamente um ponto: raios que incidem longe do eixo principal são refletidos e cruzam o eixo mais perto do vértice do que os raios paraxiais, fenômeno chamado de aberração esférica. O resultado é uma imagem borrada, com uma região de cruzamento de raios (mancha de confusão) em vez de um ponto definido. Imagine um espelho côncavo de raio R = 40 cm usado para projetar a imagem de uma vela sobre uma parede.

Para que a imagem seja nítida, a vela deve estar sobre o eixo principal, o espelho deve ter pequena abertura angular e os raios úteis devem ser próximos do eixo, formando pequenos ângulos com ele. Se aproximarmos uma fonte luminosa grande ou inclinarmos muito o objeto, os raios periféricos fogem das condições de Gauss: o bordo do espelho reflete a luz para pontos diferentes do centro, e a imagem na parede vira um borrão com franjas coloridas.

O ponto central que as bancas cobram é a distinção entre o modelo ideal (Gauss) e o comportamento real (aberração), lembrando que as equações do estudo analítico — 1/f = 1/p + 1/p′ e A = −p′/p — só são válidas quando o espelho opera dentro das condições de nitidez.

O estudo geométrico dos espelhos esféricos vai além da mera localização dos elementos: trata-se de construir a imagem ponto a ponto usando os raios notáveis, que são ferramentas de traçado cujas trajetórias são conhecidas por argumentos puramente geométricos. São três os principais: o raio que incide paralelamente ao eixo principal reflete passando pelo foco; o raio que incide passando pelo foco reflete paralelamente ao eixo; e o raio que incide passando pelo centro de curvatura reflete sobre si mesmo, pois atinge a superfície perpendicularmente. A interseção de dois desses raios emergentes (ou de seus prolongamentos) define a posição da imagem, e a natureza — real ou virtual, direita ou invertida, maior ou menor — decorre de essa interseção ocorrer antes ou depois da superfície refletora.

Para o espelho côncavo, quando o objeto está além de $C$, a imagem é real, invertida e menor; entre $C$ e $F$, é real, invertida e maior; sobre $C$, real, invertida e de mesmo tamanho; entre $F$ e $V$, é virtual, direita e maior; e sobre $F$, não há imagem (raios emergem paralelos). Já no convexo, como o foco é virtual, a imagem é sempre virtual, direita e menor, independentemente da posição do objeto. A descrição algébrica complementa a geométrica pela equação de Gauss, $\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}$, com a convenção de sinais: $f>0$ para côncavo e $f<0$ para convexo, $p>0$ para objeto real e $p'>0$ para imagem real (negativo para virtual), sendo o aumento linear $A=-\frac{p'}{p}$.

Como exemplo concreto, um objeto a $30\ \text{cm}$ de um espelho côncavo de raio $20\ \text{cm}$ ($f=10\ \text{cm}$) produz $\frac{1}{10}=\frac{1}{30}+\frac{1}{p'}$, donde $p'=15\ \text{cm}$: imagem real, invertida e com $A=-0{,}5$, ou seja, metade do tamanho.

Os raios notáveis não são capricho geométrico: eles existem porque a lei de reflexão (ângulo de incidência igual ao de reflexão, medido em relação à normal) só permite traçados simples quando a normal coincide com o raio de curvatura ou com o eixo principal. Em um espelho esférico, a normal em cada ponto aponta para o centro de curvatura C; por isso o raio que incide sobre o vértice tem normal coincidente com o eixo, refletindo simetricamente, e o raio que passa por C incide na direção da própria normal, voltando sobre si mesmo. Já o raio paralelo ao eixo incide em um ponto cuja normal aponta para C, e a geometria da reflexão o desvia para cruzar o eixo no foco F, a meio caminho entre V e C (válido na aproximação paraxial, de raios próximos ao eixo).

Como o caminho da luz é reversível, o raio que passa pelo foco sai paralelo. Tome um objeto real sobre o eixo, antes de C, diante de um espelho côncavo: o raio paralelo reflete para F; o raio que passa por F reflete paralelo. O cruzamento dos dois dá uma imagem real, invertida e menor, entre C e F — exatamente o caso da tabela dos cinco casos. Se o objeto estivesse entre F e V, os prolongamentos dos raios refletidos dariam imagem virtual, direita e maior, como no espelho de aumento.